text.skipToContent text.skipToNavigation
background-image

Analysis leicht gemacht Vorbereitungen für das Abitur von Daniels, Franz (eBook)

  • Erscheinungsdatum: 21.03.2016
  • Verlag: TWENTYSIX
eBook (ePUB)
14,99 €
inkl. gesetzl. MwSt.
Sofort per Download lieferbar

Online verfügbar

Analysis leicht gemacht

Das Buch enthält Aufgaben aus der Analysis. Es enthält Aufgaben ganzrationaler Funktionen und Funktionenscharen 2., 3. und 4.Grades aber auch e- und ln-Funktionen, schließlich sind auch einige gebrochen rationale Funktionen und Integrale enthalten. Die Lösungen aller Aufgaben werden sehr genau erklärt und ausführlich durchgerechnet. Das Buch richtet sich hauptsächlich an Personen, die sich auf das Abitur vorbereiten wollen, aber auch Lehrerinnen und Lehrer finden hier passende Aufgaben. Ebenso können hier Personen, die sich an der Universität in einem sogenannten Brückenkurs befinden, sehr gute Möglichkeiten finden, sich weiterzubilden. Der Autor ist im Jahr 1944 geboren. Er studierte ab 1966 Mathematik und Physik an der Technischen Universität in Berlin bis zum Jahr 1969. Er schloss das Studium im Jahr 1973 mit dem Diplom in Physik an Max-Planck-Institut für Biophysik in Frankfurt/Main ab. Danach ging er in den Schuldienst. Nach der Referendarzeit in Ffm trat er im Jahr 1975 eine Stelle am Gymnasium Altkönigschule in Kronberg im Taunus an. Seit 1987 war er dort als Studiendirektor Fachbereichsleiter für die Naturwissenschaften. Im Jahr 2009 wurde er pensioniert.

Produktinformationen

    Format: ePUB
    Kopierschutz: AdobeDRM
    Seitenzahl: 220
    Erscheinungsdatum: 21.03.2016
    Sprache: Deutsch
    ISBN: 9783740718060
    Verlag: TWENTYSIX
    Größe: 18756 kBytes
Weiterlesen weniger lesen

Analysis leicht gemacht

1.) Wiederholung einiger wichtiger Grundlagen

a.) Quadratische Gleichungen

Bei fast allen Problemen treten quadratische Gleichungen auf. Wie man damit umgeht, soll hier an einigen Beispielen erörtert und dabei gleichzeitig gründlich wiederholt werden.

Gegeben sei z. B. die Gleichung:

12x2 + 13x - 35 = 0.

Wie lauten die Lösungen dieser Gleichung?

Ohne "Lösungsformel" muss diese Gleichung auf ein vollständiges Binom zurückgeführt werden. Dies geschieht folgendermaßen: Zunächst wird die ganze Gleichung durch 12 dividiert, damit 1 x2 vorne alleine steht. Also:

In der binomischen Formel steht a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2.

Genau das wird jetzt ausgenutzt: Wenn in der quadratischen Gleichung als ein Teil eines Binoms aufgefasst wird, muss also sein, da x2 oder a ja schon "vergeben" sind.

Wenn aber ist, dann ist .

Stünde dieser Term in der Gleichung, dann könnte man sofort das "vollständige" Binom hinschreiben. Dieser Term steht aber meistens (leider) nicht dort. Trotzdem kann man erzwingen, dass er dort auftaucht, ohne die Aussage der Gleichung zu verändern. Dieser "Trick" sieht so aus, dass man zunächst eine Null addiert (und diese dann "auseinanderreißt"). Man geht daher folgendermaßen vor:

Nun kann man für die ersten drei Terme genau das Binom hinschreiben, also oder .

Jetzt kann die Wurzel gezogen werden. Also ist: .

Damit ergibt sich oder:

und .

Das sind genau die Lösungen der gegebenen quadratischen Gleichung.

Man kann die "Probe" machen:

Es ist: oder

, q.e.d.

Mit dem anderen Wert von x2 gelingt dies genauso. Das überlassen wir dem Leser.

Jetzt kann die allgemeine Formel gefunden werden, damit das Lösen von quadratischen Gleichungen in Zukunft etwas schneller geht.

Gegeben sei ax2 + bx + c = 0 ; (a 0, b, c ). Zunächst wird (wie oben) durch a dividiert: . Wieder ist x "vergeben", also muss ergänzt werden. Da die Aussage der Gleichung nicht verändert werden darf, kommt wieder der "Trick" mit der Addition einer Null zur Geltung: .

Dafür kann man jetzt schreiben: oder

.

Also sind oder die Lösungen der oben gegebenen Gleichung.

Nennt man nun und , dann geht die quadratische Gleichung über in x2 + px + q = 0. (Das ist die sogenannte Normalform der quadratischen Gleichung.)

Ihre Lösungen lauten demnach: .

Das ist die wichtige p-q-Formel, auf die immer wieder zurück gegriffen werden wird.

Bleiben wir beim obigen konkreten Beispiel: 12x2 +13x - 35 = 0.

Zunächst muss auch hier durch 12 dividiert werden, da in der Normalform 1 x2 stehen muss.

Also ist (wie oben) :

Damit ergibt sich für und für .

Also lauten die Lösungen der Gleichung (siehe obige "Formel"):

Hier ist zwar immer noch einige Arbeit erforderlich, bis man die Ergebnisse hat und nicht immer geht die Wurzel so "schön" wie hier auf, trotzdem findet man mit der p-q-Formel die Lösungen ganz gut und einigermaßen schnell.

Wer lieber mit der allgemeinen Formel arbeitet, der merke sich folgendes:

(Diese Formel heißt manchmal auch "Mitternachtsformel".)

Es ergibt sich damit für obiges Beispiel :

usw., wie oben.

Lösungsmannigfaltigkeiten:

Manchmal wird gefragt nach der Anzahl der möglichen, in Frage kommenden Lösungen. Das kann jetzt gut mit Hilfe der allgemeinen Lösungsformel entschieden werden:

Ist der Radikand (also der Ausdruck unter der Wurzel) , dann existiert im Reellen die Wurzel und die Gleichung hat wegen des ± vor der Wurzel zwei Lösungen, nämlich . Ist der Radikand , dann hat die Wurzel den Wert Null und das ± vor der Wurzel "bewirkt" nichts. Damit hat die Gleichung nur noch eine Lösung: .

Ist der Radikand , dann existiert im Reellen für die Wurzel keine

Weiterlesen weniger lesen

Kundenbewertungen