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Wiley-Schnellkurs Analysis von Maas, Christoph (eBook)

  • Erscheinungsdatum: 28.08.2015
  • Verlag: Wiley-VCH
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Wiley-Schnellkurs Analysis

1 Häufig vorkommende Funktionstypen In diesem Kapitel Funktionen ganz allgemein Polynome, gebrochen rationale Funktionen und Wurzelfunktionen Exponential-, Logarithmus- und Hyperbelfunktionen Trigonometrische Funktionen Betragsfunktion und Gaußklammerfunktion
Funktionen werden in den Natur-, Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften verwendet, um quantitative Zusammenhänge zwischen verschiedenen Größen zu beschreiben (beispielsweise zwischen Geschwindigkeit und Bremsweg eines Autos, zwischen Dauer und Kosten eines Telefonats oder zwischen der Laufzeit eines Satellitensignals und der Position eines GPS-Empfängers). Ich stelle Ihnen zunächst die Eigenschaften vor, die bei jeder Funktion vorkommen können. Die Vielfalt der möglichen Funktionen ist unüberschaubar. Einige Typen tauchen in diesen Zusammenhängen aber so häufig auf, dass es sich lohnt, ihre speziellen Eigenschaften parat zu haben. In den darauf folgenden vier Abschnitten dieses Kapitels werden sie zu Gruppen zusammengefasst vorgestellt. Funktionen ganz allgemein Der Begriff "Funktion" ist Ihnen mit ziemlicher Sicherheit auf der Schule schon begegnet. So wird Ihnen manches in diesem Abschnitt bereits bekannt sein. Wenn Sie ihn also zunächst überschlagen und erst dann genauer anschauen, wenn Sie etwas nachschlagen oder auffrischen wollen, ist das völlig in Ordnung. Eine Funktion besteht aus einem Definitionsbereich , einem Wertebereich und einer Zuordnungsvorschrift , die jeder Zahl genau eine (! nicht mehr und nicht weniger) Zahl zuordnet. Ob dabei alle Zahlen aus verwendet werden und ob Zahlen aus möglicherweise mehrmals vorkommen, ist an dieser Stelle egal. Tipp Der mathematische Funktionsbegriff ist nicht auf das Rechnen mit Zahlen beschränkt. Wenn Sie etwa eine Menge von Personen haben und jeder Person ihren Geburtsort zuordnen, handelt es sich auch dabei um eine Funktion. Wichtig dafür ist nur die Eindeutigkeit auf Seiten des Definitionsbereichs: Jeder Mensch hat einen Geburtsort und jeder Mensch hat (nur) einen Geburtsort. Streng genommen hören daher die Funktionen, bei denen mit reellen Zahlen gerechnet wird, auf die Bezeichnung "reelle Funktionen". Aber da in diesem Buch ohnehin von nichts anderem die Rede sein wird, lasse ich diesen Vornamen stillschweigend weg. Die Verwendung des Buchstabens x ist dabei pure Gewohnheit. Wenn der Definitionsbereich ausdrücklich eine bestimmte Größe (beispielsweise aus der Physik) repräsentiert, kommen auch andere Buchstaben zum Einsatz - zum Beispiel t, wenn die Elemente des Definitionsbereichs Zeitangaben sind. Der Buchstabe, der in der Zuordnungsvorschrift die Elemente des Definitionsbereichs repräsentiert, wird auch als Argument der Funktion bezeichnet. So ist beispielsweise t das Argument in der Weg-Zeit-Formel für den freien Fall: . Die wichtigsten Eigenschaften einer Funktion können Sie oft auf einen Blick erfassen, wenn Sie die Kurve der Funktion (auch Graph der Funktion genannt) zeichnen. Das geschieht meistens in einem kartesischen Koordinatensystem mit einer waagerechten Achse, auf der die Werte von x aufgetragen werden und einer senkrechten Achse, deren Werte mit dem Buchstaben y bezeichnet werden. Die Kurve entsteht dann dadurch, dass in der Zeichenebene alle Wertepaare markiert werden, bei denen die y-Koordinate dem Funktionswert entspricht. Deshalb sagt man hierzu auch abkürzend "die Kurve ". In diesem Zusammenhang heißt x die unabhängige Variable und y die abhängige Variable . Die Koordinatenachse, die die unabhängige Variable wiedergibt (also die X-Achse) heißt die Abszisse , und die Koordinatenachse, die die abhängige Variable wiedergibt (also die Y-Achse), heißt die Ordinate des Koordinatensystems. Umkehrung einer Funktion Eine

Produktinformationen

    Format: ePUB
    Kopierschutz: AdobeDRM
    Seitenzahl: 250
    Erscheinungsdatum: 28.08.2015
    Sprache: Deutsch
    ISBN: 9783527697960
    Verlag: Wiley-VCH
    Größe: 7282 kBytes
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Wiley-Schnellkurs Analysis

1
Häufig vorkommende Funktionstypen

In diesem Kapitel

Funktionen ganz allgemein
Polynome, gebrochen rationale Funktionen und Wurzelfunktionen
Exponential-, Logarithmus- und Hyperbelfunktionen
Trigonometrische Funktionen
Betragsfunktion und Gaußklammerfunktion
Funktionen werden in den Natur-, Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften verwendet, um quantitative Zusammenhänge zwischen verschiedenen Größen zu beschreiben (beispielsweise zwischen Geschwindigkeit und Bremsweg eines Autos, zwischen Dauer und Kosten eines Telefonats oder zwischen der Laufzeit eines Satellitensignals und der Position eines GPS-Empfängers). Ich stelle Ihnen zunächst die Eigenschaften vor, die bei jeder Funktion vorkommen können.

Die Vielfalt der möglichen Funktionen ist unüberschaubar. Einige Typen tauchen in diesen Zusammenhängen aber so häufig auf, dass es sich lohnt, ihre speziellen Eigenschaften parat zu haben. In den darauf folgenden vier Abschnitten dieses Kapitels werden sie zu Gruppen zusammengefasst vorgestellt.
Funktionen ganz allgemein

Der Begriff "Funktion" ist Ihnen mit ziemlicher Sicherheit auf der Schule schon begegnet. So wird Ihnen manches in diesem Abschnitt bereits bekannt sein. Wenn Sie ihn also zunächst überschlagen und erst dann genauer anschauen, wenn Sie etwas nachschlagen oder auffrischen wollen, ist das völlig in Ordnung.

Eine Funktion besteht aus einem Definitionsbereich , einem Wertebereich und einer Zuordnungsvorschrift , die jeder Zahl genau eine (! nicht mehr und nicht weniger) Zahl zuordnet. Ob dabei alle Zahlen aus verwendet werden und ob Zahlen aus möglicherweise mehrmals vorkommen, ist an dieser Stelle egal.
Tipp

Der mathematische Funktionsbegriff ist nicht auf das Rechnen mit Zahlen beschränkt. Wenn Sie etwa eine Menge von Personen haben und jeder Person ihren Geburtsort zuordnen, handelt es sich auch dabei um eine Funktion. Wichtig dafür ist nur die Eindeutigkeit auf Seiten des Definitionsbereichs: Jeder Mensch hat einen Geburtsort und jeder Mensch hat (nur) einen Geburtsort. Streng genommen hören daher die Funktionen, bei denen mit reellen Zahlen gerechnet wird, auf die Bezeichnung "reelle Funktionen". Aber da in diesem Buch ohnehin von nichts anderem die Rede sein wird, lasse ich diesen Vornamen stillschweigend weg.

Die Verwendung des Buchstabens x ist dabei pure Gewohnheit. Wenn der Definitionsbereich ausdrücklich eine bestimmte Größe (beispielsweise aus der Physik) repräsentiert, kommen auch andere Buchstaben zum Einsatz - zum Beispiel t, wenn die Elemente des Definitionsbereichs Zeitangaben sind. Der Buchstabe, der in der Zuordnungsvorschrift die Elemente des Definitionsbereichs repräsentiert, wird auch als Argument der Funktion bezeichnet. So ist beispielsweise t das Argument in der Weg-Zeit-Formel für den freien Fall: .

Die wichtigsten Eigenschaften einer Funktion können Sie oft auf einen Blick erfassen, wenn Sie die Kurve der Funktion (auch Graph der Funktion genannt) zeichnen. Das geschieht meistens in einem kartesischen Koordinatensystem mit einer waagerechten Achse, auf der die Werte von x aufgetragen werden und einer senkrechten Achse, deren Werte mit dem Buchstaben y bezeichnet werden. Die Kurve entsteht dann dadurch, dass in der Zeichenebene alle Wertepaare markiert werden, bei denen die y-Koordinate dem Funktionswert entspricht. Deshalb sagt man hierzu auch abkürzend "die Kurve ". In diesem Zusammenhang heißt x die unabhängige Variable und y die abhängige Variable . Die Koordinatenachse, die die unabhängige Variable wiedergibt (also die X-Achse) heißt die Abszisse , und die Koordinatenachse, die die abhängige Variable wiedergibt (also die Y-Achse), heißt die Ordinate des Koordinatensystems.
Umkehrung einer Funktion

Eine

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