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Wiley-Schnellkurs Lineare Algebra II von Räsch, Thoralf (eBook)

  • Erscheinungsdatum: 09.10.2015
  • Verlag: Wiley-VCH
eBook (ePUB)
14,99 €
inkl. gesetzl. MwSt.
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Wiley-Schnellkurs Lineare Algebra II

Bei etwas komplizierteren Fragestellungen kommen Sie oft mit den Grundlagen der Linearen Algebra nicht weiter. Hier hilft Ihnen dieses Buch. Thoralf Räsch erklärt Ihnen zu Beginn ganz knapp die Grundlagen, geht dann aber schnell weiter zu Koordinatentransformation, Eigenwerten und Eigenvektoren. Er erläutert zudem Determinanten von Matrizen, euklidische Vektorräume, Definiertheit von Matrizen und vieles mehr. Mit Übungsaufgaben samt Lösungen können Sie Ihr Wissen testen und festigen.

Produktinformationen

    Format: ePUB
    Kopierschutz: AdobeDRM
    Seitenzahl: 240
    Erscheinungsdatum: 09.10.2015
    Sprache: Deutsch
    ISBN: 9783527699544
    Verlag: Wiley-VCH
    Größe: 6836 kBytes
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Wiley-Schnellkurs Lineare Algebra II

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Koordinatentransformation bei Basiswechselund darstellende Matrizen

In diesem Kapitel

Mit Transformationsmatrizen Blickwinkel anpassen
Lernen, Transformationsmatrizen leicht aufzustellen
Darstellende Matrizen von linearen Abbildungen betrachten
Mit kommutativen Diagrammen den Überblick behalten
Kennen Sie das Gefühl, dass es manchmal einfach auf die Sichtweise ankommt? Ändern Sie einen Blickwinkel, sieht so manches Unmögliche auf einmal machbar aus. Ich zeige Ihnen in diesem Kapitel, wie Sie den Blickwinkel auf Vektoren (und später auf ganze lineare Abbildungen) ändern können und sich diese leichter beschreiben lassen.

Lassen Sie mich mit einem Gedankenexperiment starten: Stellen Sie sich die reelle Ebene 2 vor und zeichnen Sie in Gedanken den Vektor ein. Nun drehen Sie diesen Vektor, so dass er in Richtung der x -Achse zeigt, also auf dieser Achse liegt. Welche Koordinaten hat nun der Vektor?

Ganz einfach überlegt: Die y -Koordinate ist natürlich gleich null, denn der Vektor liegt nun auf der x -Achse. Die x -Koordinate dagegen entspricht gerade der Länge (dem Betrag) des gegebenen Vektors, also muss dieser Wert nach dem Satz des Pythagoras gleich der Wurzel aus

sein, also gleich 5. Somit sind die Koordinaten des gedrehten Vektors . Verstanden? Ich werde es im nächsten Abschnitt noch etwas genauer anhand von Abbildung 2.1 erläutern.
Erste Schritte der Koordinatentransformation

Lassen Sie uns das Experiment aus der Einleitung noch weitertreiben: Stellen Sie sich noch einmal den Ausgangsvektor vor, wie er links in der Abbildung 2.1 zu sehen ist. Nun kippen Sie das Koordinatensystem soweit nach links, bis der Vektor auf der einen Achse liegt. Dies erreichen Sie auch, indem Sie Ihren Kopf nach links kippen. Rechts in Abbildung 2.1 ist dies angedeutet. Dort sehen Sie noch schwach das alte Koordinatensystem und stärker betont die neue gekippte Version.

Abb. 2.1 Verschiedene Blickwinkel auf ein und denselben Vektor

Jetzt gehen Sie nochmals von der Ausgangssituation aus. Drehen Sie nun das Koordinatensystem in Gedanken. Wichtig dabei ist, dass Sie den Ausgangsvektor nicht mitdrehen! Drehen Sie derart, dass nun die (neue) x -Achse exakt in Richtung des gegebenen Vektors liegt. Wenn Sie nun bezüglich dieses neuen Koordinatensystems die Koordinaten bestimmen, dann stellen Sie fest, dass diese erneut gleich sind. Aber wie kann das sein? Es ist doch der gleiche Vektor, den wir unangetastet gelassen haben? Ganz einfache Erklärung: Sie haben Ihren Blickwinkel geändert. Der betrachtete Vektor ist unverändert geblieben, aber ihr Kopf hat sich gedreht, so dass ein und derselbe Vektor nach der Drehung des Kopfes nicht mehr so kompliziert aussieht, denn er zeigt in eine der Standardrichtungen, nämlich in Richtung einer Koordinatenachse.
Beispiel 2.1

Ich möchte Ihren Blickwinkel auf das mathematische Drehen des Koordinatensystems etwas versüßen: Stellen Sie sich vor, die kleine Kattrin hat heute Geburtstag und bekommt von Ihrem besten Freund scheinbar nur eine Nachricht: "Dein Geschenk findest Du vom Türrahmen aus am Ende des Schrittlängenvektors mit den Koordinaten (3,4)". Sie grummelt und ist sich nicht sicher, was das bedeuten soll.

Das Geschenk möchte sie dennoch haben und so dreht sie hoffnungsvoll die Karte um. Sie strahlt, denn dort heißt es: Oder Du setzt Deine Brille auf und kippst Deinen Kopf knapp zwei Drittel eines rechten Winkels nach links. Stelle Dich dann in den Türrahmen und schon siehst Du in fünf Schritteinheiten in der roten Richtung Dein Geschenk!". Sie ist skeptisch, nimmt aber die Brille auf. Auf den Gläsern sieht sie ein Koordinatensystem eingezeichnet: Die x -Richtung rot, die y -Richt

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