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Wiley-Schnellkurs Lineare Algebra von Räsch, Thoralf (eBook)

  • Erscheinungsdatum: 20.02.2015
  • Verlag: Wiley-VCH
eBook (ePUB)
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Wiley-Schnellkurs Lineare Algebra

2 Logische Grundlagen der Sprache, Mengen und Beweistechniken In diesem Kapitel Was Mengen sind Wie man mit Mengen rechnen kann Mathematik als formale Sprache Endliche und unendliche Mengen Grundlegende Beweistechniken der Mathematik
Dieses Kapitel können Sie gern als Fortsetzung der Einführung in die algebraischen Grundlagen ansehen. Zuächst zeige ich Ihnen, was Mengen sind und was Sie mit ihnen machen können. Dies umfasst die Grundrechenoperationen in der Welt der Mengen. Als Zweites kümmern wir uns um formale Sprachen und analysieren die der Mathematik. Erst wenn Ihnen die Grammatik der Mathematik klarer geworden ist, können Sie logisch korrekt sprechen. Im letzten Teil zeige ich Ihnen vier grundlegende Beweistechniken als Kochrezepte, um im Umgang mit der Mathematik Fortschritte zu machen. Alles über Mengen In der Mathematik spielt der Begriff der Menge eine wesentliche Rolle, ohne dass er sehr im Vordergrund steht. Die Mathematiker des 19. Jahrhunderts haben bemerkt, dass es immer wieder sprachliche Schwierigkeiten gibt, wenn man allzu sorglos mit mathematischen Begriffen um sich wirft. Umgangssprachlich bezeichnet man mit einer Menge eine Gesamtheit verschiedener Objekte mit einer gemeinsamen Eigenschaft. Also etwa die Menge der Leser dieses informativen Buches oder die Menge der Bäume im Schwarzwald oder eben auch die Menge der ganzen Zahlen, die gerade sind. Allgemein gibt es also eine Grundgesamtheit von Objekten, von der Sie ausgehen können. Eine solche sollte natürlich immer hinreichend groß sein, damit dort auch alle Objekte zu finden sind, über die Sie sprechen möchten. Das kann also die Grundgesamtheit aller Objekte in unserem Universum sein (damit sind Sie auf der sicheren Seite, nur ist diese doch arg groß) oder etwas überschaubarer im Hinblick auf dieses Buch vielleicht nur die Grundgesamtheit der mathematischen Objekte (im Universum). Oder noch besser, wenn Sie über Zahlen sprechen, vielleicht auch nur die Grundgesamtheit der Zahlen mit einer gewissen Eigenschaft. Sie werden sich fragen, worin nun die Schwierigkeit besteht. Warten Sie es ab. Denken Sie einfach mit mir gemeinsam über das Konzept der Mengen nach. Beispiel Sie gehen im Supermarkt einkaufen. Zunächst erhalten Sie an der Fleischtheke eine Packung mit herzhaftem Inhalt. Sie nehmen noch einen Beutel Kartoffeln, danach die üblichen Kleinigkeiten, zweimal Joghurt und einen Schokoriegel. An der Kasse packen Sie alles in eine Tüte und gehen nach Hause. Was hat diese Geschichte mit Mengen zu tun, werden Sie fragen. Die gesamte Einkaufstüte stellt eine Menge dar, nämlich die Menge der eingekauften Objekte: eine Packung Aufschnitt, ein Beutel Kartoffeln, zweimal Joghurt, ein Schokoriegel. Diese Menge enthält selbst wieder zwei Mengen von eingekauften Produkten, nämlich die Menge der Kartoffeln im Beutel und die Packung mit den verschiedenen Wurstsorten. Das bedeutet, dass Ihre Menge wieder Mengen enthält, die selbst Objekte enthalten und so weiter. Betrachten Sie dazu die Abbildung 2.1 . Abb. 2.1 Eine ganz normale Einkaufstüte - betrachtet als Menge von Objekten Die Einkaufstüte heißt E , der Beutel Kartoffeln K , die Packung mit dem Aufschnitt W , die zwei Joghurtbecher J 1, J 2 und der Schokoriegel heißt S . In dem Beutel Kartoffeln sind drei Kartoffeln enthalten, nämlich k 1, k 2 und k 3. In der Packung mit dem Aufschnitt gibt es einmal den Belag w 1 und den Belag w 2. Dann besteht die Menge E aus den Objekten K , W , J 1, J 2 und S , wobei die Menge K die Objekte k 1, k 2 und k 3 und die Menge W die Objekte w 1 und w 2 enthält. Man benutzt dafür die so genannte Men

Produktinformationen

    Format: ePUB
    Kopierschutz: AdobeDRM
    Seitenzahl: 240
    Erscheinungsdatum: 20.02.2015
    Sprache: Deutsch
    ISBN: 9783527693689
    Verlag: Wiley-VCH
    Größe: 7125 kBytes
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Wiley-Schnellkurs Lineare Algebra

2
Logische Grundlagen der Sprache, Mengen und Beweistechniken

In diesem Kapitel

Was Mengen sind
Wie man mit Mengen rechnen kann
Mathematik als formale Sprache
Endliche und unendliche Mengen
Grundlegende Beweistechniken der Mathematik
Dieses Kapitel können Sie gern als Fortsetzung der Einführung in die algebraischen Grundlagen ansehen. Zuächst zeige ich Ihnen, was Mengen sind und was Sie mit ihnen machen können. Dies umfasst die Grundrechenoperationen in der Welt der Mengen. Als Zweites kümmern wir uns um formale Sprachen und analysieren die der Mathematik. Erst wenn Ihnen die Grammatik der Mathematik klarer geworden ist, können Sie logisch korrekt sprechen. Im letzten Teil zeige ich Ihnen vier grundlegende Beweistechniken als Kochrezepte, um im Umgang mit der Mathematik Fortschritte zu machen.
Alles über Mengen

In der Mathematik spielt der Begriff der Menge eine wesentliche Rolle, ohne dass er sehr im Vordergrund steht. Die Mathematiker des 19. Jahrhunderts haben bemerkt, dass es immer wieder sprachliche Schwierigkeiten gibt, wenn man allzu sorglos mit mathematischen Begriffen um sich wirft.

Umgangssprachlich bezeichnet man mit einer Menge eine Gesamtheit verschiedener Objekte mit einer gemeinsamen Eigenschaft. Also etwa die Menge der Leser dieses informativen Buches oder die Menge der Bäume im Schwarzwald oder eben auch die Menge der ganzen Zahlen, die gerade sind. Allgemein gibt es also eine Grundgesamtheit von Objekten, von der Sie ausgehen können. Eine solche sollte natürlich immer hinreichend groß sein, damit dort auch alle Objekte zu finden sind, über die Sie sprechen möchten. Das kann also die Grundgesamtheit aller Objekte in unserem Universum sein (damit sind Sie auf der sicheren Seite, nur ist diese doch arg groß) oder etwas überschaubarer im Hinblick auf dieses Buch vielleicht nur die Grundgesamtheit der mathematischen Objekte (im Universum). Oder noch besser, wenn Sie über Zahlen sprechen, vielleicht auch nur die Grundgesamtheit der Zahlen mit einer gewissen Eigenschaft.

Sie werden sich fragen, worin nun die Schwierigkeit besteht. Warten Sie es ab. Denken Sie einfach mit mir gemeinsam über das Konzept der Mengen nach.
Beispiel

Sie gehen im Supermarkt einkaufen. Zunächst erhalten Sie an der Fleischtheke eine Packung mit herzhaftem Inhalt. Sie nehmen noch einen Beutel Kartoffeln, danach die üblichen Kleinigkeiten, zweimal Joghurt und einen Schokoriegel. An der Kasse packen Sie alles in eine Tüte und gehen nach Hause.

Was hat diese Geschichte mit Mengen zu tun, werden Sie fragen. Die gesamte Einkaufstüte stellt eine Menge dar, nämlich die Menge der eingekauften Objekte: eine Packung Aufschnitt, ein Beutel Kartoffeln, zweimal Joghurt, ein Schokoriegel. Diese Menge enthält selbst wieder zwei Mengen von eingekauften Produkten, nämlich die Menge der Kartoffeln im Beutel und die Packung mit den verschiedenen Wurstsorten. Das bedeutet, dass Ihre Menge wieder Mengen enthält, die selbst Objekte enthalten und so weiter. Betrachten Sie dazu die Abbildung 2.1 .

Abb. 2.1 Eine ganz normale Einkaufstüte - betrachtet als Menge von Objekten

Die Einkaufstüte heißt E , der Beutel Kartoffeln K , die Packung mit dem Aufschnitt W , die zwei Joghurtbecher J 1, J 2 und der Schokoriegel heißt
S . In dem Beutel Kartoffeln sind drei Kartoffeln enthalten, nämlich k 1, k 2 und k 3. In der Packung mit dem Aufschnitt gibt es einmal den Belag w 1 und den Belag w 2. Dann besteht die Menge E aus den Objekten K , W , J 1, J 2 und S , wobei die Menge K die Objekte k 1, k 2 und k 3 und die Menge W die Objekte w 1 und w 2 enthält. Man benutzt dafür die so genannte Men

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