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Mathematische Statistik Für Mathematiker, Natur- und Ingenieurwissenschaftler von Rasch, Dieter (eBook)

  • Erscheinungsdatum: 10.12.2015
  • Verlag: Wiley-VCH
eBook (ePUB)

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Mathematische Statistik

1
Grundbegriffe dermathematischen Statistik

Elementare statistische Berechnungen werden schon seit Jahrtausenden durchgeführt. Das arithmetische Mittel aus einer Anzahl von Mess- oder Beobachtungswerten ist schon sehr lange bekannt.

Zuerst entstand die beschreibende Statistik mit dem Sammeln von Daten etwa bei Volkszählungen oder in Krankenregistern und deren Verdichtung in Form von Maßzahlen oder Grafiken. Die mathematische Statistik entwickelte sich ab Ende des 19. Jahrhunderts aufbauend auf der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Anfang des 20. Jahrhunderts gehörten vor allem Karl Pearson und Sir Ronald Aymler Fisher zu ihren Pionieren. Das Buch von Fisher (1925) ist ein Meilenstein, in ihm werden die vom Autor mehrere Jahre zuvor entwickelten Grundlagen der Statistik wie die Maximum-Likelihood-Methode und die Varianzanalyse oder Begriffe wie Suffizienz und Effizienz Versuchsanstellern nahegebracht. Ein wichtiges Informationsmaß heißt noch heute Fisher-Information (siehe Abschn. 1.4 ).

Wir wollen auf die Details der historischen Entwicklung nicht eingehen und verweisen Interessierte auf Stigler (2000). Stattdessen beschreiben wir den heutigen Stand der Theorie. Wir wollen aber nicht vergessen, dass viele Anregungen aus Anwendungen kamen und bringen deshalb auch immer wieder Beispiele.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist zwar die Grundlage der mathematischen Statistik, aber viele praktische Probleme, in denen Aussagen über Zufallsvariablen gemacht werden sollen, sind mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung allein nicht zu lösen. Das liegt daran, dass über die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen nicht alles bekannt ist und das Problem oft darin besteht, Aussagen über mindestens einen der Parameter einer Verteilungsfunktion zu machen oder dass sogar die Verteilungsfunktion gänzlich unbekannt ist. Die mathematische Statistik wird in vielen einführenden Texten als die Theorie der Auswertung von Versuchen oder Erhebungen betrachtet, d. h., man geht davon aus, dass bereits eine Zufallsstichprobe (nach Abschn. 1.1 ) vorliegt. Wie man auf optimalem Weg zu dieser Zufallsstichprobe gelangt, bleibt meist unberücksichtigt - dies wird gesondert in der statistischen Versuchsplanung abgehandelt. In den Anwendungen ist es klar, dass man erst den Versuch (die Erhebung) plant und dann, wenn der Versuch durchgeführt wurde, mit der Auswertung beginnt. In der Theorie ist es aber zweckmäßig, zunächst die optimale Auswertung zu ermitteln, um dann für diese den optimalen Versuchsplan zu bestimmen, z. B. den kleinsten Versuchsumfang für eine varianz-optimale Schätzfunktion. Daher wird hier so verfahren, dass zunächst einmal die optimale Auswertung bestimmt wird und später für diese der Versuchsplan zu erarbeiten ist. Eine Ausnahme bilden dabei die sequentiellen Verfahren, bei denen Planung und Auswertung gemeinsam vorgenommen werden.

Wir müssen uns darüber im Klaren sein, dass es sich bei der Behandlung der mathematischen Statistik einerseits und bei ihrer Anwendung auf konkretes Datenmaterial andererseits um zwei völlig verschiedene Begriffssysteme handelt. In beiden treten oft die gleichen Termini auf, die es genau auseinanderzuhalten gilt. Wir sprechen davon, dass den Begriffen der empirischen Ebene (also denen der Realwelt) Modelle in der Theorie zugeordnet werden.
1.1 Grundgesamtheit und Stichprobe

1.1.1 Konkrete Stichproben und Grundgesamtheiten

In den empirischen Wissenschaften werden ein Merkmal oder auch mehrere Merkmale gleichzeitig (ein Merkmalsvektor) an bestimmten Objekten (oder Individuen) beobachtet. Aus den Beobachtungswerten sind Schlüsse auf die Gesamtheit der Merkmalswerte aller Objekte einer Gesamtheit zu ziehen. Ursache dafür ist, dass es sachliche oder ökonomische Gesichtspunkte gibt, die eine vollständige Erfassung der Merkmale aller Objekte nicht ermöglichen. Hierzu einige Beispiele:

Die K

Produktinformationen

    Format: ePUB
    Kopierschutz: AdobeDRM
    Seitenzahl: 262
    Erscheinungsdatum: 10.12.2015
    Sprache: Deutsch
    ISBN: 9783527692101
    Verlag: Wiley-VCH
    Größe: 40899 kBytes
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Mathematische Statistik

1
Grundbegriffe dermathematischen Statistik

Elementare statistische Berechnungen werden schon seit Jahrtausenden durchgeführt. Das arithmetische Mittel aus einer Anzahl von Mess- oder Beobachtungswerten ist schon sehr lange bekannt.

Zuerst entstand die beschreibende Statistik mit dem Sammeln von Daten etwa bei Volkszählungen oder in Krankenregistern und deren Verdichtung in Form von Maßzahlen oder Grafiken. Die mathematische Statistik entwickelte sich ab Ende des 19. Jahrhunderts aufbauend auf der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Anfang des 20. Jahrhunderts gehörten vor allem Karl Pearson und Sir Ronald Aymler Fisher zu ihren Pionieren. Das Buch von Fisher (1925) ist ein Meilenstein, in ihm werden die vom Autor mehrere Jahre zuvor entwickelten Grundlagen der Statistik wie die Maximum-Likelihood-Methode und die Varianzanalyse oder Begriffe wie Suffizienz und Effizienz Versuchsanstellern nahegebracht. Ein wichtiges Informationsmaß heißt noch heute Fisher-Information (siehe Abschn. 1.4 ).

Wir wollen auf die Details der historischen Entwicklung nicht eingehen und verweisen Interessierte auf Stigler (2000). Stattdessen beschreiben wir den heutigen Stand der Theorie. Wir wollen aber nicht vergessen, dass viele Anregungen aus Anwendungen kamen und bringen deshalb auch immer wieder Beispiele.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist zwar die Grundlage der mathematischen Statistik, aber viele praktische Probleme, in denen Aussagen über Zufallsvariablen gemacht werden sollen, sind mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung allein nicht zu lösen. Das liegt daran, dass über die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen nicht alles bekannt ist und das Problem oft darin besteht, Aussagen über mindestens einen der Parameter einer Verteilungsfunktion zu machen oder dass sogar die Verteilungsfunktion gänzlich unbekannt ist. Die mathematische Statistik wird in vielen einführenden Texten als die Theorie der Auswertung von Versuchen oder Erhebungen betrachtet, d. h., man geht davon aus, dass bereits eine Zufallsstichprobe (nach Abschn. 1.1 ) vorliegt. Wie man auf optimalem Weg zu dieser Zufallsstichprobe gelangt, bleibt meist unberücksichtigt - dies wird gesondert in der statistischen Versuchsplanung abgehandelt. In den Anwendungen ist es klar, dass man erst den Versuch (die Erhebung) plant und dann, wenn der Versuch durchgeführt wurde, mit der Auswertung beginnt. In der Theorie ist es aber zweckmäßig, zunächst die optimale Auswertung zu ermitteln, um dann für diese den optimalen Versuchsplan zu bestimmen, z. B. den kleinsten Versuchsumfang für eine varianz-optimale Schätzfunktion. Daher wird hier so verfahren, dass zunächst einmal die optimale Auswertung bestimmt wird und später für diese der Versuchsplan zu erarbeiten ist. Eine Ausnahme bilden dabei die sequentiellen Verfahren, bei denen Planung und Auswertung gemeinsam vorgenommen werden.

Wir müssen uns darüber im Klaren sein, dass es sich bei der Behandlung der mathematischen Statistik einerseits und bei ihrer Anwendung auf konkretes Datenmaterial andererseits um zwei völlig verschiedene Begriffssysteme handelt. In beiden treten oft die gleichen Termini auf, die es genau auseinanderzuhalten gilt. Wir sprechen davon, dass den Begriffen der empirischen Ebene (also denen der Realwelt) Modelle in der Theorie zugeordnet werden.
1.1 Grundgesamtheit und Stichprobe

1.1.1 Konkrete Stichproben und Grundgesamtheiten

In den empirischen Wissenschaften werden ein Merkmal oder auch mehrere Merkmale gleichzeitig (ein Merkmalsvektor) an bestimmten Objekten (oder Individuen) beobachtet. Aus den Beobachtungswerten sind Schlüsse auf die Gesamtheit der Merkmalswerte aller Objekte einer Gesamtheit zu ziehen. Ursache dafür ist, dass es sachliche oder ökonomische Gesichtspunkte gibt, die eine vollständige Erfassung der Merkmale aller Objekte nicht ermöglichen. Hierzu einige Beispiele:

Die K

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